Nombre d'or

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Gestion des déchets
Utilisation de l'énergie
Se chauffer

Catégorie:Se loger

De tout temps les artistes ont été en quête d'harmonie, de beauté au sein de leurs oeuvres. Depuis l'Antiquité, les géomètres et les philosophes ont cru à l'existence d'une proportion privilégiée permettant d'obtenir harmonie et beauté; les artistes de la Renaissance l'appelèrent la proportion divine, ou la section dorée, et qui se transforma par la suite en Nombre d'or.

Le nombre d'or fascine les esprits depuis des millénaires. On le désigne par la lettre grecque φ (Phi) en référence au sculpteur grec Phidias (500 av JC) qui l'utilisa pour travailler sur la statue d'Athéna décorant le Parthénon à Athènes.

Il semble être utilisé par la nature, les peintres l'ont employé, il fut de très nombreuses fois utilisé par les architectes pour trouver des proportions harmonieuses, et finalement, il fut étudié par beaucoup de brillants mathématiciens.

-Le '''nombre d'or''', habituellement désigné par la lettre [[φ]] (''phi'') de l'[[alphabet grec]] en l'honneur de [[Phidias]], sculpteur et architecte grec du [[Parthénon]], est le [[nombre irrationnel]] :
+{{Article de qualité|date=18 octobre 2007|oldid=30349}}
-:<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \simeq 1,618033988749894848204586834365...</math> .
+{{Se loger}}
-== Propriétés géométriques ==
+De tout temps les artistes ont été en quête d'harmonie, de beauté au sein de leurs oeuvres. Depuis l'Antiquité, les géomètres et les philosophes ont cru à l'existence d'une proportion privilégiée permettant d'obtenir harmonie et beauté; les artistes de la Renaissance l'appelèrent la proportion divine, ou la section dorée, et qui se transforma par la suite en '''Nombre d'or'''.
-=== Nombre d'or et pentagone ===
-Le nombre d'or apparaît dans les proportions du pentagone régulier, comme le rapport entre la longueur du côté du pentagone et celle du côté du [[pentagramme]] inscrit. Ce rapport purement géométrique défini sur un polygone régulier a probablement été la première définition grecque du nombre d'or.
-{{boîte déroulante|titre=Démonstration élémentaire|contenu=
+Le nombre d'or fascine les esprits depuis des millénaires. On le désigne par la lettre grecque '''&phi;''' (''Phi'') en référence au sculpteur grec Phidias (500 av JC) qui l'utilisa pour travailler sur la statue d'Athéna décorant le Parthénon à Athènes.
-[[Image:Pentagramme et pentagone.svg|right|250px]]
-Dans un pentagramme inscrit dans un pentagone, les segments sont de trois types, correspondant à trois longueurs différentes : l'arête du pentagone extérieur ''a'', celle du pentagone intérieur ''c'', et celle du bras de l'étoile ''b''.
+Il semble être utilisé par la nature, les peintres l'ont employé, il fut de très nombreuses fois utilisé par les architectes pour trouver des proportions harmonieuses, et finalement, il fut étudié par beaucoup de brillants mathématiciens.
-En outre, on peut identifier deux types de triangles [[Triangle#Triangle isocèle|isocèle]]s élémentaires: des triangles de type aplatis, formés d'une base ''a'' et de deux côtés ''b''; et des triangles de type pointus, formés d'une base ''c'' et de deux côtés ''b''.
-Quand on parcourt le pentagone extérieur, on fait un tour complet en cinq étapes. L'angle de déviation à chaque étape est donc d'un cinquième de tour, et donc l'angle au sommet du pentagone est le complémentaire à un angle plat (un demi-tour), soit finalement 3/10 de tour (= 1/2 - 1/5). De même, quand on parcourt le pentacle, on fait finalement deux tours complets en cinq étapes ; l'angle au sommet du pentacle est donc 1/2 - 2/5 = 1/10 de tour.
-On sait que dans un triangle, la somme des angles internes fait 180°, soit 5/10 de tour. Les triangles étant isocèles, connaissant l'angle au sommet, on peut facilement calculer l'autre angle : les triangles de type aplatis ont donc un angle de 3/10 au sommet, et deux angles de 1/10 ; les triangles de type pointus ont un angle de 1/10 au sommet et deux angles de 2/10.
+== Histoire ==
-On peut également remarquer que le pentacle (1/10 de tour) s'inscrit dans le pentagone (3/10 de tour) en laissant le reste (soit 2/10 de tour) de part et d'autre en deux secteurs symétriques, chaque secteur fait donc un angle d'un cinquième de tour : les trois angles que l'on voit apparaître aux sommets du pentagone extérieur sont donc égaux.
-Considérons à présent le triangle composé formé par la superposition d'un aplati et d'un pointu. Il a une arête de longueur ''a'', une autre arête ''b''+''c'', et une troisième arête de longueur ''b''. D'autre part, ses angles aux sommets sont :
+=== ''Le nombre d'or'' à travers le temps ===
-* L'angle latéral du triangle aplati, soit 1/10 ;
+* Les Égyptiens utilisèrent à la fois Pi et Phi pour la construction des grandes pyramides.
-* L'angle latéral du triangle pointu, soit 2/10 ;
+* V<sup>e</sup> siècle av. J.-C. : Le sculpteur grec Phidias utilise le nombre d'or pour décorer le Parthénon à Athènes, en particulier pour sculpter la statue d'Athéna Parthénos. Il utilise également la racine carrée de 5 comme rapport.
-* Son troisième angle est la somme de l'angle au sommet du pointu (1/10) et de l'angle latéral de l'aplati (1/10), soit 2/10.
+* III<sup>e</sup> siècle av. J.-C. : Euclide évoque le partage d'un segment en "extrême et moyenne raison" dans le livre VI des Éléments.
-Ses angles étant 1/10, 2/10, 2/10, ce grand triangle est donc un triangle isocèle semblable au triangle pointu. Les longueurs des côtés sont donc égales, et donc : ''a''=''b''+''c''.
+* X<sup>e</sup> siècle: Utilisation du nombre d'or pour la construction de la cathédrale Notre Dame de Paris.
-D'autre part, les côtés du triangle composé sont donc en proportion avec ceux du petit triangle pointu, soit : ''a/b'' = ''b/c''.
+* 1498 : Fra Luca Pacioli, un moine professeur de mathématiques, avec l'aide de Léonard de Vinci, écrit "De divina proportione" (la divine proportion); ouvrage entièrement consacré au nombre d'or.
+* Au cours du XX<sup>e</sup> siècle : des peintres tels Dali et Picasso, ainsi que des architectes comme Le Corbusier, eurent recours au nombre d'or.
-Géométriquement, on voit donc que "le tout" (''a=b+c'') est au "plus grand" (''b'') ce que le le "plus grand" (''b'') est au "plus petit" (''c'') : c'est la définition du rapport du nombre d'or.
+=== Le nombre de tout temps ===
+De tout temps, si on demande à des personnes de dessiner un rectangle quelconque, le format des rectangles sera (dans 75% des cas selon le physiologiste et philosophe allemand Gustav Fechner, en 1876) proche du nombre d'or.
-Comme ''a/b'' = ''b/c'', cette proportion se retrouve aussi bien sur les triangles de type "pointu" que sur ceux de type "aplati", et sur tous les triangles semblables : ce sont les deux types possibles de "triangle d'or". En particulier,  l'arête du pentacle est la base d'un grand triangle (de longueur ''b''+''c''+''b''), de type "aplati" (puisque son angle au sommet est 3/10), et dont l'arête est celle du pentagone. Donc, le rapport entre le côté du pentagone et celui du pentacle inscrit est égal au nombre d'or - CQFD.
+Phi est également appelé "nombre divin". Comme l'ont démontré Léonard de Vinci et bien d'autres après lui, il régit les proportions de la nature. Par exemple, une coquille d'escargot possède une forme en spirale, et le rapport de la largeur de 2 spires consécutives vaut Phi. Et ce n'est pas le seul cas; le corps humain est également régi par cette proportion; de nombreuses études montrent aussi que le rapport entre mâles et femelles dans une ruche vaut également "phi".
+En botanique, "''si les feuilles (et par conséquent les rameaux) d'une plante étaient espacées sur la tige par des intervalles d'exactement 137°30'28", aucune feuille ne se situerait exactement au-dessus d'une autre, ce qui diminuerait l'ombre portée par cette feuille sur les autres situés plus bas''"
-Par ailleurs, on trouve immédiatement l'expression algébrique du nombre d'or : ''b/c'' = 1 + ''c/b'', soit :
+== Principes ==
-:<math>\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}.</math>
-}}
-{{clear}}
-=== Rectangle d'or ===
+Le nombre d'or n'est pas "réellement" un nombre, mais plutôt le rapport entre deux nombres (d'ailleurs, il se nomme aussi proportion divine ou aussi phi).
-On appelle rectangle d'or un rectangle dont le rapport entre la longueur et la largeur vaut le nombre d'or.
-[[Image:RecOr.jpg|thumbnail|right|250px|Tracé d'un rectangle aux proportions du nombre d'or avec un compas]]
+Phi (&phi;) est un nombre irrationnel dont la valeur exacte est:
+[[Image:Phi.png]]
-Le tracé d'un rectangle d'or se fait très simplement à l'aide d'un compas ; il suffit de pointer le milieu d'un côté d'un carré, de pointer l'un des deux angles opposés, puis de rabattre l'arc de cercle sur la droite passant par le côté du carré pointé (à noter que cette construction était un « secret » de [[compagnonnage]] au [[Moyen Âge]]).
+Le nombre d'or, vous le verrez, a des particularités mathématiques assez étonnantes.
-Voici une raison possible de l'attrait suscité par le ''rectangle d'or'' : considérons un rectangle dont les côtés de longueurs ''a'' et ''b'' sont dans un rapport du nombre d'or :
+=== Propriétés algébriques du nombre d'or ===
+Deux nombres sont dit être ''dans le rapport du nombre d'or'' ou ''dans la divine proportion'', si le tout par rapport au plus grand est comme le plus grand par rapport au plus petit:
+'''(a+b) / a = a / b''' ou encore '''b / (a-b) = a / b'''
-[[Image:Rectangles d or.png|thumbnail|left|250px|Rectangles d'or et divine proportion]]
+Après quelques manipulations algébriques (multiplier la première équation avec a/b ou la seconde avec  (a - b)/b), chacune des équations est alors équivalente à: '''(a / b)<sup>2</sup> = a / b + 1'''
-Si de ce rectangle, nous supprimons le carré de côté de longueur ''b'', alors le rectangle restant est à nouveau un rectangle d'or, puisque ses côtés sont dans un rapport φ. En effet, d'après les propriétés algébriques,
+et donc: '''a / b = &phi;'''
-:<math> \frac{b}{a-b} = \frac{1}{a/b -1} = \frac{a}{b} = \varphi</math>.
-En itérant cette construction, nous obtenons une suite de rectangles d'or de plus en plus petits. Ce fait est une interprétation géométrique du développement en [[fraction continue]] du nombre d'or (voir plus loin).
+'''Finalement, afin d'utiliser la divine proportion, il vous suffira de calculer: a = &phi; * b'''
-=== Triangles d'or ===
+==== Carré du nombre d'or ====
+Pour calculer le carré du nombre d'or, il suffit de lui ajouter 1: '''&phi;² = &phi; + 1'''
-Les triangles d'or sont des [[triangle isocèle|triangles isocèles]] dont le rapport des côtés est égal au nombre d'or. Il en existe de deux types. Ceux pour lesquels  le rapport côté / base vaut φ qui donnent des triangles aigus appelés parfois triangles d'argent et ceux pour lesquels le rapport base / côté vaut φ.
+==== Inverse du nombre d'or ====
+Pour calculer l'inverse du nombre d'or, il suffit de lui retrancher 1: '''1/&phi; = &phi; - 1'''
-[[Image:triangles d or(2).png|thumbnail|center|500px|<center>Triangles d'or et d'argent</center>]]
+==== Puissances du nombre d'or ====
+: '''&phi;² = &phi; + 1'''
+: '''&phi;<sup>3</sup> = &phi;² + &phi; = 2 &phi; + 1'''
+: '''&phi;<sup>4</sup> = 2 &phi;² + &phi; = 2 &phi; + 2 +  &phi; = 3 &phi; + 2'''
+: '''&phi;<sup>5</sup> = 3 &phi;² + 2 &phi; = 3 &phi; + 3 + 2 &phi; = 5 &phi; + 3'''
+: '''&phi;<sup>6</sup> = 8 &phi; + 5'''
+: '''&phi;<sup>7</sup> = 13 &phi; + 8'''
-Dans la figure jointe :
+Les puissances du nombre d'or s'expriment en fonction de &phi; et de 1 et les coefficients ne sont autres que les nombres de Fibonacci. Pour obtenir une puissance du nombre d'or, il suffit de connaître les deux puissances précédentes et de les additionner, ce qui est exactement le procédé de construction de la suite de Fibonacci!
-*Les triangles isocèles BDA et CAB ont un angle de base commun en A. ABD est donc semblable à BCA dans un rapport de 1/φ.
-*Comme φ = 1+ 1/φ, DC = 1 et DBC est isocèle de sommet D.
-*L'angle en B est donc double de l'angle en C dans ABC.
-*La somme des angles d'un triangle valant 180°, on obtient pour l'angle C le cinquième de l'[[angle plat]], soit 36° et pour l'angle B les deux cinquièmes de l'angle plat, soit 72°.
-Puisqu'il s'agit de découper un angle plat en 5, il n'est pas surprenant de retrouver ces triangles d'or dans le [[pentagone régulier]] et dans le [[pentacle]].
+== Applications ==
-Dans un triangle d'or aigu, on peut dessiner un triangle d'or obtus et un triangle d'or aigu φ fois plus petit. On retrouve ce même phénomène dans un triangle d'or obtus. Ces faits expliquent que l'on retrouve ces deux éléments dans les [[pavage de Penrose|pavages de Penrose]].
+Nous allons voir ici comment utiliser le nombre d'or. Il est vrai que dans la vie de tous les jours, il est peu probable d'avoir à l'utiliser. Toutefois, pour la création d'une oeuvre artistique, ce dernier peut-être très utile! Attention, la construction architecturale est aussi considérée comme oeuvre artistique; ainsi, le nombre d'or peut-être utilisé afin de définir les proportions d'un bâtiment et de ses murs.
-===Spirales d'or ===
+Nous l'avons vu plus haut: a = &phi; x b (Phi multiplié par b). Il devient alors simple de trouver les longueurs nécessaires afin d'obtenir la proportion divine.
-[[Image:spirale d or rectangle.png|thumbnail|right|250px|Spirale d'or dans un rectangle]]
-On peut construire, à partir d'un rectangle d'or, une [[spirale]] d'or en traçant des quarts de cercle dans chaque carré. Cette spirale se rapproche d'une [[spirale logarithmique]] de centre l'intersection des deux diagonales des deux rectangles et d'[[équation polaire]] :
+=== Le segment d'or ===
-:<math> r (\theta) = r.\varphi^{-\frac{\theta}{\pi/2}}</math>
+Une ligne est divisée en deux segments ''a'' et ''b''. La ligne entière est au segment ''a'' ce que le segment ''a'' est au segment ''b''. Un nombre est dans le rapport du nombre d'or ou dans la proportion divine si: a/b=(a/b)+1 et donc a/b=&phi;
-[[Image:spirale d or triangle.png|thumbnail|left|180px|Spirale d'or dans un triangle]]
+[[Image:Segment-or.png|a + b est à a ce que a est à b]]
-<div style="display:block;float:right"><gallery>
-Image:Whirpool Galaxy.jpg
-Image:spirale_d_or_triangle.png
-</gallery></div>
-On peut construire, à partir du triangle d'or, une spirale d'or triangulaire rappelant certaines images astrophysiques et se rapprochant d'une spirale logarithmique d'équation polaire
+=== Trouver un point ===
-:<math> r (\theta) = r.\varphi^{\frac{\theta}{3\pi/5}}</math>.
+À partir de la technique décrite pour le segment d'or, il est possible de trouver un point (ou zone) idéal dans une figure géométrique. Par exemple, appliqué à un rectangle de 5 cm sur 3 cm, nous avons: 5 cm divisés par 1,618 = 3,09 cm et 3 cm divisés par 1,618 = 1,85 cm.
-{{clear}}
+Il est ainsi possible de porter ces résultats sur le rectangle de quatre manières différentes:<br />
+[[Image:Rect-point1.png]] [[Image:Rect-point2.png]] [[Image:Rect-point3.png]] [[Image:Rect-point4.png]]
-=== Nombre d'or et [[trigonométrie]] ===
+En pratique, ce type de point peut être utile en architecture ou encore en dessin afin de placer un point de fuite ou encore un objet important, sur lequel l'attention doit porter.
-On a déjà pris conscience que le nombre d'or, par le biais des triangles d'or, était en relation avec les angles de 36° (le cinquième d'un angle plat). On va voir ici qu'il est en relation avec les distances dans un [[pentagone (figure)|pentagone]] et un décagone.
-[[Image:Zpuiss5.PNG]]
+=== Le rectangle d'or ===
+Un rectangle est appelé rectangle d'or si le rapport entre sa longueur et sa largeur est égal au nombre d'or.
-Dans le pentagone ci-dessus, les points <math>Z</math> et <math>Z^2</math> ont respectivement pour abscisse cos(72°) et cos(144°). Une incursion dans les [[nombre complexe|nombres complexes]] permet de prouver :
+[[Image:Rectangle_or.png]]
-:<math> \cos(72^\circ)= {\varphi-1 \over 2} </math> ;
-:<math>\cos(144^\circ)=  -{\varphi \over 2}</math> ;
-puis par considération géométrique :
-:<math> \cos(36^\circ)= {\varphi \over 2} </math>.
-{{boîte déroulante|titre=Démonstration|contenu=
+=== Construction  ===
+Le tracé d'un rectangle d'or se fait très simplement à l'aide d'un compas, il suffit de pointer le milieu d'un côté d'un carré, pointer l'un des deux angles opposés, puis de rabattre l'arc de cercle sur la droite passant par le côté du carré pointé. Ceci est un des "secrets" de compagnonnage.
-Les cosinus de 0°, 72°, 144°, 216°, 288° (notés ''x'') et leurs sinus (notés y) sont les solutions de l'équation
+* ABCD est un carré de côté 1.
-:<math>(x + iy)^5 = 1</math>.
+* K est le milieu du segment [AD].
-À première vue il faudrait résoudre l'équation de degré 5 :
+* On trace un arc de cercle de centre K et de rayon [KC]; il coupe la droite (AD) en E.
-:<math>(x + iy)^5=1 \Leftrightarrow Z^5 = 1</math>, mais le second degré suffira.
+* On construit alors F tel que ABFE soit un rectangle.
+* ABFE est un rectangle d'or.
-Remarquons que <math>Z^2</math> est le conjugué de <math>Z^3</math> donc que ces deux nombres ont même partie réelle :
+Avec cette technique, il vous est possible de définir les proportions d'un mur, d'un cadre, de toute sorte d'objets rectangulaires. Par exemple, vous souhaitez créer un cadre (pour une peinture) selon la proportion divine. Il vous faudra tout simplement décider d'une des longueurs de celui-ci, puis d'utiliser la technique précédente (avec la longueur, formez un carré, prenez le milieu d'un segment...) afin d'avoir un rectangle d'or.
-* La partie réelle de <math>Z^2</math> est :
-:<math>x^2 - y^2 = 2x^2- 1\,</math> car <math>x^2 + y^2=1</math>.
-* La partie réelle de <math>Z^3</math> est :
-: <math>x^3 - 3xy^2 = 4x^3 - 3x\,</math>.
-L'égalité des deux parties réelles revient à résoudre :
-:<math>(x(4x^2-3))=(2x^2-1)\,</math> qui se résout en :
-:<math>(x-1)(4x^2 + 2x - 1)=0\,</math> équivalent à :
-:: <math>x = 1\,</math>,
-:ou bien :
-::<math>-2x\,</math> est solution de <math>X^2 - X - 1 = 0</math> où l'on reconnaît l'équation caractéristique du nombre d'or.
-Les solutions correspondent aux abscisses des 3 points ''U'', <math>Z</math>, <math>Z^2</math>, d'où les valeurs trouvées.
-}}
-Les carrés des sinus peuvent être calculés élégamment par les [[cercle#Puissance d'un point par rapport à un cercle|puissances des points]] M et N par rapport au cercle unitaire.
+=== La spirale d'or ===
+Prenez un rectangle d'or (L/l = &phi;). Enlevez-lui un carré formé à partir du plus petit côté. Le rectangle restant est un rectangle d'or! On peut ainsi continuer l'opération à l'infini. Et si maintenant on souhaite relier les côtés opposés des carrés, on obtient une spirale logarithmique, dite spirale d'or.
-On obtient alors les valeurs suivantes :
+[[Image:Rectangle_or2.png]]
-: <math>\sin(36^\circ) ={\sqrt{3-\varphi}\over 2}</math> ;
-:<math>\sin(72^\circ)= {\sqrt{2+\varphi} \over 2}</math>.
-{{boîte déroulante|titre=Démonstration|contenu=
+=== L'angle d'or ===
+Un angle d'or est un angle d'environ 137,5°. On le retrouve dans la nature, par exemple dans la pomme de pin, la fleur de tournesol... Il est obtenu par: 360°/(&phi;+1)
-:<math>MU={3-\varphi \over 2}</math> et <math>MA={1+\varphi\over 2}</math>,
+=== Le triangle d'or ===
-:<math> NU={2+\varphi \over 2}</math> et <math>NA={2-\varphi \over 2}</math>.
+En géométrie, un angle d'or est un angle créé par la division de la circonférence (''c'') d'un cercle
-Donc :
+en une section ''a'' et en une plus petite section ''b'', de sorte que: c = a + b
-:<math>\sin^2(72^\circ) = MU \times MA = {(3-\varphi)(1 + \varphi) \over 4 }={2+\varphi \over 4}</math> après simplification du polynôme ;
-:<math>\sin^2(144^\circ)=NU \times NA ={(2+\varphi)(2-\varphi)\over 4}={3-\varphi \over 4}</math>.
-}}
+et c / a = a / b
-De ces égalités on peut alors déduire directement la longueur des côtés du [[Pentagone (figure)|pentagone]], <math>l= d(Z^2;Z^3)\,</math>, et du [[pentagramme]],<math>L = d(Z;Z^4)\,</math> en doublant les sinus :
-:<math>l=\sqrt{3-\varphi}</math> ;
-:<math>L=\sqrt{2+\varphi}</math>.
-Ceci met en évidence des triangles d'or car le rapport entre ces deux grandeurs se calcule ainsi
-:<math>\frac{\sin(72^\circ)}{\sin(36^\circ)}=\frac{L}{l}=\sqrt{\frac{2+\varphi}{3-\varphi}}</math>
-le rapport en question se calculant par la formule de l'inversion du binôme,
-: <math>\frac{L}{l}=\sqrt{\frac{(2+\varphi)(\varphi + 2)}{5}}=\sqrt{1+\varphi}</math>=<math>\sqrt{\varphi^2}=\varphi</math>,
-ce qui revient à dire que le triangle isocèle U-Z-Z4 est d'or, ainsi que U-Z2-Z3.
-[[Image:triandor.PNG]]
+Un triangle d'or est un triangle isocèle dont les longueurs des côtés sont dans le rapport du nombre d'or. Leurs angles doivent en conséquence mesurer 36° et 72°. Il y a un premier triangle d'or appellé triangle d'argent dont le côté/base=phi
-Des considérations de symétrie montrent que UZV et T-Z2-Z3 sont isocèles, de plus ils sont semblables aux deux précédents, dans un rapport de similitude égal à l'inverse de <math>\varphi</math>. Il en est de même du petit triangle UVW etc.
+[[image:Triangle-or.png]]
-=== Nombre d'or et fonction trigonométrique ===
+AB / BC = &phi;, le triangle ABC est appelé triangle d'or.
-Le paragraphe précédent a permis de mettre en place le cosinus et le sinus du cinquième de l'angle plat (36°). À partir de cette valeur et en appliquant la [[Identité trigonométrique#Formules d'angle moitié|formule de l'angle moitié]] :
+Le triangle d'or a aussi la particularité (comme toutes les proportions divines) de pouvoir se répliquer à l'infini:<br />
-: <math>\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac 12 \sqrt{2 + 2\cos(\theta)}</math> ;
+[[Image:Triangle-or1.png]] [[Image:Triangle-or2.png]] [[Image:Triangle-or3.png]] [[Image:Triangle-or4.png]]
-ainsi que les formules d'angle double et d'angle complémentaire, on peut déterminer le cosinus de tous les angles multiples de 9° :
-:<math>\cos\,(\,9^\circ) \, = \frac 12 \sqrt{2+\sqrt{ 2+\varphi }}</math> ;
-:<math>\cos\,(18^\circ)= \frac 12  \sqrt{ 2+\varphi } </math> ;
-:<math>\cos\,(27^\circ)= \frac 12 \sqrt{2+  \sqrt{ 3-\varphi }}</math> ;
-:<math>\cos\,(36^\circ)= \frac 12 \, \varphi</math> ;
-:<math>\cos\,(45^\circ)= \frac 12 \sqrt{2}</math> ;
-:<math>\cos\,(54^\circ)= \frac 12 \sqrt{ 3-\varphi }  </math> ;
-:<math>\cos\,(63^\circ)= \frac 12 \sqrt{2 - \sqrt{ 3-\varphi }}</math> ;
-:<math>\cos\,(72^\circ)= \frac 12  ( \varphi -1) </math> ;
-:<math>\cos\,(81^\circ)= \frac 12 \sqrt{2 - \sqrt{ 2+\varphi }} </math> .
-On peut aussi déterminer le cosinus des angles de la forme <math>\frac{9^\circ}{2^n}</math> en appliquant la formule du cosinus de l'angle moitié :
+== Conclusions ==
-:<math>\cos\,(9^\circ)  = \frac 12 \sqrt{2+\sqrt{ 2+\varphi }}</math> ;
-:<math>\cos\left(\frac 92 ^\circ \right) =\frac 12 \sqrt{2+\sqrt{ 2+\sqrt{ 2+\varphi }}}</math> ;
-:<math>\cos\left(\frac 94 ^\circ \right) = \frac 12 \sqrt{2+\sqrt{ 2+\sqrt{ 2+\sqrt{ 2+\varphi }} }}</math> ;
-:<math>\cos\left(\frac{9^\circ}{2^{n+2}}\right) = \frac 12 \sqrt{2+\sqrt{ 2+\cdots \mbox{n racines gigognes} \cdots \sqrt{ 2+\sqrt{ 2+\varphi }} }}\, \quad(n \ge 0)</math>.
-Si ce processus se poursuit indéfiniment l'angle devient nul d'où :
+Pour finir, le nombre d'or est un thème très controversé. Certains pensent qu'il est possible de trouver n'importe quel nombre n'importe où, qu'il suffit de chercher. Certains aussi pensent que le nombre d'or n'a jamais été utilisé dans l'art; qu'il y a confusion avec le rapport 5/8 = 0.625 souvent utilisé par les artistes. Mais ce même rapport ne pourrait-il pas être une sorte d'approximation de Phi?
-:<math> 2 = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}</math> ;
-:ce qu'on savait déjà, voir [[Racine carrée#Formulaire|itération infinie de racines carrées]].
-== Propriétés algébriques ==
+"Les nombres gouvernent le monde" disait Pythagore.
-=== Équation ===
-C'est l'unique racine [[Nombre positif|positive]] de :
-:<math>\varphi^2 = \varphi + 1,</math> soit également
+Mais maintenant, il ne vous reste plus qu'à vous faire votre propre opinion sur ce nombre magique ou non...
-:<math>\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}.</math>
+== Voir aussi ==
-=== Puissances du nombre d'or ===
+===Liens internes===
+* [[Construire son habitat]]
-:<math>\forall n\in\mathbb{N}, \quad \varphi^n = \varphi^{n-1} + \varphi^{n-2}</math>.
+===Liens externes===
-En effet, il suffit de multiplier l'égalité <math>\varphi^2 = \varphi + 1</math> par <math>\varphi^{n-2}</math>.
-Ou encore : <math>\varphi^{n} = \varphi^{n+2} - \varphi^{n+1} </math> où il suffit de multiplier l'égalité <math>\varphi^2 = \varphi + 1</math> par <math>\varphi^{n}</math>.
-Cette relation de récurrence est à rapprocher de celle qui relie les [[Base d'or#Une relation étroite : représentation de Fibonacci|nombres de Fibonacci]] <math>F_k\,</math>; à savoir :
-:<math>\forall k\in\mathbb{N}^*, \quad F_{k+1} = F_k + F_{k-1}\,</math>.
-=== Proportions ===
-[[Image:Image-Golden ratio line.png|200px|right]]
-[[Image:1&φ.png|right|200px|Représentation du nombre d'or selon une [[construction à la règle et au compas]]]]
-Deux nombres sont dits être dans le ''rapport du nombre d'or'' ou dans la ''divine proportion'', si le tout par rapport au plus grand est comme le plus grand par rapport au plus petit, ''id est'' :
-:<math>\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}</math>.
-De manière équivalente, ils sont dans le ''rapport du nombre  d'or'' si le rapport du plus grand par le plus petit est égal au rapport du plus petit par leur différence :
-:<math>\frac{a}{b} = \frac{b}{a-b}</math>.
-De simples manipulations algébriques, (multiplication de la première par ''a''/''b'' et de la seconde par (''a''-''b'')/''b''), montrent que ces deux relations sont équivalentes à :
-:<math>\left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a}{b} + 1</math>,
-et ainsi :
-:<math>\frac{a}{b} = \varphi</math>.
-Le fait qu'un segment soit divisé en deux morceaux de longueurs  ''a'' et ''b'' qui restent dans le rapport du nombre d'or est aussi (d'après Euclide) exprimé comme « la longueur est coupée en extrême et moyenne raison ».
-=== Suite de Fibonacci ===
-{{article détaillé|Suite de Fibonacci}}
-L'expression explicite des termes d'une [[suite de Fibonacci]] utilise le nombre d'or et son inverse. Cette suite commence par <math>f_{0}=0, f_{1}=1, f_{2}=1</math>, puis 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946…
-La [[relation de récurrence]] est <math>f_{n}= f_{n-1} + f_{n-2}</math>. Les [[suite géométrique|suites géométriques]] vérifiant cette relation de récurrence sont des suites <math>\left (U_n=\lambda^n\right )</math>, où λ est solution de l'équation <math>x^2=x+1\,</math>. Ce sont donc des suites de raison <math>\varphi</math> et <math>\varphi'</math>. On démontre que ces deux suites permettent d'exprimer toutes les autres. On obtient, avec les conditions initiales :
-: <math>f_n= \left(\frac{2\varphi-1}{5}\right)\left(\varphi^n -(1- \varphi)^n \right)</math>.
-Grâce à cette expression, on peut prouver que la [[limite (mathématiques)|limite]] des rapports des termes successifs de la suite de Fibonacci est égale au nombre d'or.
-=== Écritures possibles ===
-Puisque φ est défini comme étant la racine d'une équation polynomiale, c'est un [[nombre algébrique]]. Il peut être montré que φ est un [[nombre irrationnel]].
-Comme <math>\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}</math>, la représentation de φ en [[fraction continuée]] s'écrit :
-:<math>\varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}</math>.
-Comme  <math>\varphi^2 = 1 + \varphi</math>, la représentation de φ avec une [[Racine carrée#Formulaire|itération infinie de racines carrées]] s'écrit :
-:<math>\varphi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}</math>.
-Le nombre d'or a des propriétés intéressantes lorsqu'il est utilisé comme base d'un système de nombre (voir [[base d'or]]).
-=== Extension algébrique ===
-L'ensemble des nombres de la forme  <math>a \varphi+ b </math> avec ''a'' et ''b'' rationnels, définissent un [[corps (mathématiques)|corps]] noté <math>\mathbb Q[\varphi]</math>. Comme le qualificatif de corps l'indique, c'est un ensemble stable pour les quatre opérations (addition, soustraction, multiplication et division). C'est une [[extension algébrique]] de <math>\mathbb Q</math>.
-En particulier, tout polynôme à coefficients rationnels en <math>\varphi</math> est réductible à un binôme du premier degré <math>a\varphi+ b</math> où ''a'' et ''b'' sont des rationnels. Et toute fraction rationnelle en <math>\varphi</math> à coefficients dans <math>\mathbb Q</math> est réductible à un binôme.
-L'ensemble des nombres de la forme <math>u \sqrt 5+ v</math> avec ''u'' et ''v'' rationnels définissent un corps noté <math>\mathbb Q[\sqrt 5]</math> et donc stable pour les quatre opérations.
-La relation entre <math>\varphi</math> et <math>\sqrt 5</math> : <math>\varphi = \frac{1+\sqrt 5}{2}</math> permet de prouver que les deux ensembles précédents sont égaux et que tout binôme du premier degré <math>a\varphi + b </math> à coefficients rationnels est exprimable par un binôme du premier degré <math>u\sqrt{5} + v </math> à coefficients rationnels et réciproquement. Les formules de passage d’un système de binôme à l’autre sont des transformations linéaires :
-* Dans un sens : <math>\begin{cases} a=2u\\b=v-u\end{cases}</math>.
-* Dans l’autre sens : <math>\begin{cases}u = a/2\\ v = a/2 +b\end{cases}</math>.
-{{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu=
-'''<math>\mathbb Q[\varphi]</math> est un corps.'''
-: Cet ensemble est stable pour l'addition  car <math>(a\varphi + b) + a'\varphi + b') = (a+a')\varphi + (b + b')</math>.
-: Il est stable pour la soustraction pour les mêmes raisons.
-: Il est stable pour la multiplication car \varphi^2 = \varphi + 1 donc <math>(a\varphi + b)(a'\varphi + b') = aa'\varphi^2 + (a'b + b'a)\varphi + bb' = (ab'+b'a+aa')\varphi + (aa'+bb')</math>.
-: il est stable par la prise de l'inverse. En effet l'égalité <math>\varphi^2 - \varphi = 1</math> permet de prouver que, pour tout rationnel ''a'' et ''b'', on a :
-:: <math>(a\varphi + b)(a\varphi - a - b) = a^2 - ab - b^2</math>.
-:Cette quantité n'est jamais nulle pourvu que <math>(a;b)\neq(0;0)</math>.
-:Il suffit alors, dans un fraction dont le dénominateur est  <math>a\varphi + b</math>, de multiplier numérateur et dénominateur par <math>a\varphi - a - b</math> pour obtenir un dénominateur rationnel. L’inverse en général d’un binôme est donc donné par la formule :
-::<math> \frac{1}{a\varphi + b }  = \frac{a\varphi   - (a+b)   }{a^2-ab-b^2 }</math>,
-:avec les cas particuliers :
-::<math> \frac{1}{1-2\varphi } =  \frac{1}{5}- \frac{2\varphi }{5}  </math> ;
-::<math> \frac{1}{\varphi } =  \varphi -1</math>.
-'''Tout polynôme en <math>\varphi</math> à coefficients rationnels se réduit à un binôme.'''
-:Il suffit d’utiliser en cascade l’équation :
-::<math>\varphi^n = \varphi^{n-1} + \varphi^{n-2}</math>.
-'''<math>\mathbb Q[\sqrt 5]</math> est un corps.'''
-: Les démonstrations sont analogues au précédent à ceci près que, dans une fraction dont le dénominateur est <math>u\sqrt{5} + v</math>, il suffit de multiplier numérateur et dénominateur par <math>u\sqrt{5} - v</math> pour obtenir un dénominateur rationnel.
-'''<math>\mathbb Q[\sqrt 5] = \mathbb Q[\varphi].</math>'''
-: De l'égalité <math>\varphi = \frac{1+\sqrt 5}{2}</math>, il vient :
-::<math> a\varphi + b = \frac{a}{2} + \frac{a}{2}\sqrt 5 + b = \frac{a}{2}\sqrt 5 + (\frac{a}{2}+ b)</math>.
-: De l'égalité <math>\sqrt 5 = 2 \varphi - 1</math>, il vient :
-::<math>u\sqrt 5 + v = 2u\varphi + u + v</math>.
-}}
-En revanche, ces corps ne sont pas stables par la prise de la racine carrée. Cependant, on peut noter quelques résultats remarquables :
-* Les racines carrées stables :
-:<math> \sqrt{5+0\varphi}=2\varphi -1 </math>,
-:<math> \sqrt{1+\varphi}= \varphi </math>,
-:<math> \sqrt{2-\varphi}= \varphi -1</math>,
-:Les nombres de Fibonacci procurent quelques belles racines,
-:<math> \sqrt{f_{2n+1}-f_{2n}\varphi}=| f_{n+1}-f_{n}\varphi | </math>, c'est d'ailleurs <math>(\varphi-1)^n </math>,
-:par exemple :
-::<math> \sqrt{5-3\varphi}=|2-\varphi |=0,381966...</math>,
-::<math> \sqrt{13-8\varphi}=|3-2\varphi | =0,2360679...</math> ;
-* racines carrées stables à un facteur <math>\sqrt\varphi</math> près :
-:<math>\sqrt{\varphi-1}=\sqrt{\varphi}(\varphi-1)  </math>,
-:<math> \sqrt{f_{2n-1}\varphi -f_{2n}}=\sqrt{\varphi}|f_{n+1}-f_{n}\varphi |  </math>, c'est d'ailleurs <math>  \sqrt{(\varphi-1)^{2n-1}} </math>.
-==Le nombre d'or dans l'art : mythe ou réalité ?==
-===Les débuts du nombre d’or===
-[[Image:ParthenonGoldenRatio.png|thumbnail|right|250px|Le parthénon et la divine proportion]]
-[[Euclide]] l'appelle la proportion de moyenne et extrême raison. On peut considérer que les [[Pythagoricien]]s en font indirectement un symbole de leur secte en prenant pour emblème la figure géométrique qui lui est associée : le [[pentacle]]. [[Léonard de Pise]] le retrouve dans les suites qui portent son nom. Le moine mathématicien [[italie]]n [[Luca Pacioli]] lui consacre un livre intitulé ''De divina proportione'' rédigé en 1498 avec la collaboration de [[Léonard de Vinci]] pour les figures. [[Johannes Kepler]] dit de lui {{début citation}} La [[géométrie]] a deux grands trésors : l'un est le [[théorème de Pythagore]] ; l'autre la division d'un segment en moyenne et extrême raison. Le premier, nous pouvons le comparer à une mesure de l'or ; le second nous pouvons l'appeler un précieux bijou.{{fin citation}}
-La "découverte" de sa présence presque parfaite dans le [[Parthénon]] construit par [[Phidias]] fait qu'on lui attribue la lettre φ comme nom. Cette proportion souvent considérée comme esthétique est étudiée ensuite par [[Charles Henry]] et [[Georges Seurat]]. Une exposition, "la section d'or", lui est consacrée en 1912.
-===La contribution de Ghyka===
-Vers 1930, le [[Roumanie|Roumain]] [[Matila Ghyka]] voit le nombre d'or partout : les spirales des [[coquillage]]s, la disposition des feuilles des plantes, le nombre de pétales… mais aussi l'[[architecture]] ou la [[peinture]].
-C'est lui qui popularise cette notion que les rectangles construits à partir du nombre d'or sont attrayants visuellement. Ghyka trouve en effet des approximations de φ par exemple dans des tableaux comme la [[Joconde]].
-====Des travaux critiqués====
-*Ses mesures seraient approximatives. Il semble qu’il ne trouve qu’environ 1,6.
-*Ses résultats sont trop souvent complexes. Selon ses détracteurs, il faut décortiquer dans tous les sens un portrait pour y trouver lesdites valeurs. Selon ses partisans, le nombre de ses découvertes dans une seule œuvre excuse la difficulté que l’on peut avoir à les retrouver.
-*Certains poussent le raisonnement jusqu’à dire que ses résultats n’ont rien à voir avec une décomposition normale d’un tableau ou d’un monument.
-*L'exemple du [[Parthénon]], très populaire, serait ainsi biaisé : pour obtenir un vrai rectangle d'or, on ne prend pas la façade, mais la façade plus quelques marches pour avoir la bonne hauteur et donc le bon rapport ! De plus, pour les mesures effectuées avec le chapiteau, les détracteurs soulignent le fait que celui-ci étant écroulé, on n’en connaît pas la hauteur originale, ce à quoi les partisans répondent que prolonger sur un plan les droites formées par les morceaux restants suffit.
-*L’exemple de la [[Grande Pyramide]] se baserait sur un récit d’[[Hérodote]] (d'après l'abbé Moreux), mais quand on examine le texte en question on se rend compte qu'il ne comporte aucun détail mathématique de ce genre.
-[[Image:Saint-jerome-or.JPG|thumb|200px|right|Le personnage de Saint-Jérôme est-il judicieusement encadré par un rectangle d’or ?]]
-*L’exemple également assez répandu de Saint-Jérôme (détail du tableau éponyme de [[Léonard de Vinci]]) ne prouverait rien : le personnage est si mal encadré par le rectangle d’or (noté ici en bleu) que son bras droit n’y est pas inclus entièrement, prouvant ainsi malgré ses partisans que le nombre d’or n'a pas été utilisé par le peintre. Les partisans considèrent au contraire que la partie majeure du corps est bien enserrée dans le rectangle et que le bras compte bien moins que la ''masse'' formée par le corps accroupi.
-*Nous pourrions ainsi multiplier les exemples, avec arguments et contre-arguments à l’appui.
-*Ghyka travaillait sur des copies en noir et blanc des œuvres. Or un tableau, un monument, c'est bien plus qu'une construction géométrique. Ce sont des couleurs, des matières… L'attrait des spectateurs pour telle œuvre a probablement d’autres explications que l'existence prouvée ou non de rapports géométriques.
-===Au-delà de la méthode===
-Le lecteur est alors en droit de se demander ce qu’il adviendrait si les résultats étaient exacts et se rapportaient à des découpages cohérents et reconnus des œuvres étudiées. Plusieurs pistes tendent à montrer que cela ne prouverait rien quand même.
-Une des études statistiques les plus connues est celle du philosophe allemand [[Gustav Fechner]], réalisée en 1876. Il se base sur des formes élémentaires et recherche dans les croix du commerce (bijoux) ou religieuses (crucifix et croix tombales) les proportions les plus courantes. Il en présente à un grand nombre de personnes plusieurs modèles et leur demande de choisir celle qui à leurs yeux est la plus esthétique. La croix considérée comme la plus esthétique est celle de [[Croix de saint André|Saint-André]].
-La seconde expérience réalisée par Fechner porte sur différents rectangles. Sa procédure consiste à présenter à un sujet une série de dix rectangles dont les rapports hauteur/largeur varient entre 1 et 0,4. Le sujet doit ensuite choisir la figure qui lui paraît la plus esthétique. Environ {{unité|76|%}} des choix sont centrés sur des rectangles dont les rapports sont 0,57 ; 0,62 et 0,67. Les autres figures reçoivent moins de {{unité|10|%}} chacune.
-Ces considérations ne peuvent donner une réponse absolue quant à la présence du nombre d’or en esthétique. Mais les résultats obtenus vont néanmoins dans le sens de la "divine proportion". Malgré cela, les choix de Fechner sont relativement limités et l’ordre de présentation des rectangles joue un rôle important sur le choix des sondés.
-Un test réalisé par George Markowsky met en œuvre 48 rectangles de proportions différentes (entre 0,4 et 2,5). La hauteur de ces figures est fixe, seule la largeur varie. Les rectangles sont tout d’abord présentés sous forme de matrice 6×8 et organisés de manière aléatoire. Il en ressort que la plupart des gens sont incapables de trouver le rectangle d’or dans ces conditions. Les figures sont ensuite ordonnées selon leur largeur dans l’ordre croissant. Il se trouve que dans cette configuration, les choix sont relativement différents par rapport au cas précédent. Dans cette expérience, le rectangle le plus souvent nominé est celui dont le rapport est de 1,83. Ce test semble prouver que le rectangle d’or n’est pas celui qui nous paraît le plus esthétique.
-===Autres contributions===
-Le mathématicien H.E. Huntley publie en 1970 {{lang|en|''The Divine Proportion. A Study in Mathematical Beauty''}} où il expose toutes les situations où l'on peut rencontrer le nombre d'or. Il semble parfaitement fasciné par ce nombre, même quand il manipule ses pures propriétés algébriques et trigonométriques, d'une manière un peu embrouillée d'ailleurs car il conserve à la fois <math>\varphi</math>, son inverse, la seconde racine <math>\varphi'</math> de l'équation de base et <math>\sqrt{5}</math>.
-En [[1995]], l'historienne d'art [[Marguerite Neveux]] démonte toutes les études précédentes qui prenaient parti pour le nombre d'or, dans son ouvrage ''Nombre d'or - radiographie d'un mythe'', fruit de 10 ans de recherches.
-[[Rudolf Wittkower]] est également de son avis, et dit notamment qu'« il est probablement exact de dire qu'aucun architecte de la Renaissance n'a usé des proportions irrationnelles ». [[Pierre Gros]] dans ses études sur [[Vitruve]] montre du reste que ce dernier se sert très peu des nombres irrationnels, et uniquement de <math>\sqrt{2}</math>. Il ne faut pas oublier que pour les Pythagoriciens la découverte de l'existence des nombres irrationnels fut un choc, parce que toute leur théorie de l'adéquation du monde aux nombres entiers ou aux rapports de tels nombres volait en éclats. Cette méfiance s'est semble-t-il perpétuée jusqu'à la Renaissance.
-Enfin, on ne compte plus les revues, magazines, livres, sites personnels… parus pour réaffirmer la véracité du mythe, et dans une moindre mesure, ceux édités pour en étudier l’authenticité d’un point de vue bien plus critique. Il reste à noter que bien souvent, l’argumentation des sources trop peu sérieuses est trop mince et affirme par exemple couramment sans démonstration que le nombre d’or a été trouvé ''dans un temple de la mer des Bahamas, dans la Grande Pyramide, dans les cathédrales, dans les tableaux de [[Léonard de Vinci]]''.
-Bref, l'utilisation consciente ou inconsciente dans l’art du nombre d'or reste un sujet hautement polémique.
-===Nombre d'or et architecture===
-[[Image:RecOr2.jpg|thumb|249px|left|Le nombre d'or dans un tracé régulateur]]
-Quoi qu'on puisse penser de l'intérêt réel du nombre d'or ''en tant que tel'' en matière d'[[esthétique]], il est clair qu'un consensus entre les architectes sur une proportion ou une autre — et donc pourquoi pas celle-là — ne pouvait que donner à un ensemble de bâtiments ayant des concepteurs différents un début d'harmonie commune. En ce sens, son rôle principal aurait concerné des questions d'[[urbanisme]] plus que d'[[architecture]].
-Toutefois, l'intérêt architectural de ce nombre est, que si vous ajoutez, ou bien soustrayez, un carré à un rectangle au nombre d'or, vous retrouvez un rectangle au nombre d'or, ce qui simplifie le travail pour composer une façade suivant des tracés régulateurs. De plus, cette relation complémentaire entre le carré et le rectangle d'or donne une impression de grande stabilité visuelle. Cependant, [[Marguerite Neveux]] rejette de tels hypothétiques tracés régulateurs.
-L'architecte et urbaniste [[Le Corbusier]] lui consacre un essai en créant le [[Modulor]]. Il baptise ainsi ce système qu'il rêve de substituer au système métrique et qu'il utilisera dorénavant dans tous ses projets, comme la [[Cité radieuse de Marseille]]. C'est de très loin l'utilisation la plus clairement établie du nombre d'or, puisque Le Corbusier en a parlé sans ambiguïté.
-===Nombre d'or dans la nature===
-Certains affirment observer le nombre d'or dans l'[[phyllotaxie|implantation des feuilles]] sur la tige des plantes, ou des écailles dans la pomme de pin, ou d'une fleur de tournesol. La présence de la suite de Fibonacci pour ce type de croissance pourrait en effet expliquer ce phénomène.
-En revanche, contrairement à une croyance encore tenace, on ne la trouve absolument pas dans la coquille du [[Nautilus (mollusque)|nautile]]. En effet, si la spirale du nautile semble bien de forme [[spirale logarithmique|logarithmique]] (ce qui se conçoit bien comme première approximation d'une croissance), le rapport est en revanche "seulement" de 1,3 ce qui est bien trop éloigné du nombre d'or. De plus, aucun raisonnement scientifique ne permet jusqu'à présent de prouver ou justifier la présence du nombre d'or.
-Certains pensent le découvrir dans la double hélice d'[[Acide désoxyribonucléique|ADN]], dans la forme d'un [http://www.cuves-a-vin.com/cuve_oeuf.html œuf], dans les [[quasi-cristaux]] … Vaste domaine de recherche.
-== Nombres d’or en astronomie==
-En [[astronomie]], on appelle nombre d’or, le rang d’une année dans le [[Cycle métonique|cycle de Méton]] qui comporte 19 années et permet de faire coïncider à quelques heures près [[Cycle lunaire|cycles lunaires]] et cycles solaires. Il existe alors 19 nombres d’or (de 1 à 19) et chaque année possède son nombre d’or. Mais ces nombres d’or n’ont aucun rapport avec le nombre φ étudié précédemment.
-On le calcule ainsi&nbsp;:
-* diviser l’année par 19 (par exemple pour 2007, 2007 / 19 ≈ 105,6 que l’on tronque à 105)&nbsp;;
-* prendre le reste de la division précédente (105 × 19 = 1995 au lieu de 2007, il reste donc 12 années)&nbsp;;
-* ajouter 1  (12 + 1 = 13) : l’année 2007 a donc pour '''nombre d’or''' 13.
-Cette règle restera valable tant que le cycle métonique de 19 ans (légèrement trop long d’un peu moins d’une heure et demie) ne sera pas corrigé pour tenir compte de l’avance de ce cycle de près d’un jour au bout d’un peu plus de 16 cycles (soit 310 ans selon les observations actuelles du cycle lunaire). Certains ont proposé de ne pas toucher à ce cycle métonique traditionnel ou au calcul du nombre d’or lui-même, mais d’introduire plutôt un autre cycle apportant les jours supplémentaires de correction des lunaisons à appliquer à un ensemble donné de 16 cycles&nbsp;; d'autres défendent la modification de la formule du nombre d’or.
-Voir aussi le [[Comput#Calendrier lunaire perpétuel|calendrier lunaire perpétuel]] ou le [[calcul de la date de Pâques]] pour connaître son contexte.
-Le Cycle de Méton, découvert par l'astronome du même nom, a été révélé en [[-453|453 av. J.-C.]] lors des [[Jeux Olympiques]], et les Athéniens, conscients de l'importance d'une telle découverte pour améliorer le calendrier de l'époque, ont fait graver ce cycle en lettres d'or sur un temple dédié à Minerve. C'est de là que vient l'expression nombre d'or pour désigner le rang d'une année dans le cycle de Méton, et par extension, le cycle lui-même<ref>Que sais-je N°1530, [http://www.puf.com/Book.aspx?book_id=005915 le nombre d'or], par Marius Cleyet-Michaud</ref>.
-== Bibliographie ==
-* ''[http://www.umcs.maine.edu/~markov/GoldenRatio.pdf Misconceptions about the Golden Ratio]''{{pdf}} de George Markowsky dans la revue ''The College Mathematicals Journal'' (1992, 23-1 p. 2-19).
-* ''LE MODULOR, essai sur une mesure harmonique à l'échelle humaine applicable universellement à l'Architecture et à la mécanique'' de [[Le Corbusier]] (Éditions de l'Architecture d'Aujourd'hui, collection ASCORAL - 1949)
-* ''Nombre d'or - radiographie d'un mythe'' de Marguerite Neveux, Seuil/Points, 1995.
-* ''Le mythe du nombre d'or - une esthetique mathematique'' de Jérôme Haubourdin, éditions Biospheric, 2006
-* ''Le nombre d'or'', Marius Cleyet-Michaud, P.U.F., Collection "Que sais-je?", 12° édition, 2002.
-== Notes et références de l'article ==
-<references/>
-== Voir aussi ==
-=== Liens internes  ===
-* [[Base d'or]]
-* [[Angle d'or]]
-* [[Suite de Fibonacci]]
-* [[Pentagone (figure)]]
-* [[Notion de module]]
-* [[Nombre d'argent]]
-* [[Construction du pentagone régulier à la règle et au compas]]
-* [[Zome]]
-=== Liens externes  ===
+==== en Français ====
+* [http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_d'or Nombre d'or sur Wikipedia]
+* [http://www.ifrance.com/expo/lenombre/ Très bon article sur le nombre d'or par les élèves de seconde du lycée Jean Monnet d'Aurillac]
+<!-- * [http://www.chez.com/pyramidesetnombredor/ Les pyramides et le nombre d'or] lien mort - à vérifier-->
+* [http://hypo.ge-dip.etat-ge.ch/www/math/html/node33.html à propos de l'angle d'or dans la nature]
+* [http://www.tintin.be/fr/doss_fr/regl1_fr.html Utilisation de la règle d'or dans Tintin]
-* [http://ic.epfl.ch/webdav/site/ic/shared/article_drapel_.jaquier.pdf Le nombre d'or : réalité ou interprétations douteuses ?]{{pdf}} Rapport de Kévin Drapel et Cyril Jaquier
+Contradiction:
-* Nombre d'or : [http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/NbOr.htm dans le dictionnaire des nombres].
+* [http://www.pseudo-sciences.org/spip.php?article796 Lien disséquant le mythe de l'utilisation du nombre d'or a travers les ages]
-* [http://mathenpoche.sesamath.net/3eme/pages/numerique/chap2/serie9/exo4/exo4.htm Exercice interactif sur Mathenpoche 3{{e}}].
-* [http://ecole.eap.free.fr/construction_rect_or.swf animation], une petite animation de la construction au compas du rectangle d'or.
-{{commons|Category:Golden ratio|{{PAGENAME}}}}
+==== en Anglais ====
+* [http://math.smith.edu/~phyllo/ Phyllotaxis Home]: un site sur la phyllotaxie, c'est-à-dire l'agencement des feuilles et des pétales sur les plantes et les fleurs, qui est souvent en rapport avec les nombres de Fibonacci et le nombre d'or.
+* [http://math.njit.edu/dalc/upwardbound/michael/architecture_michael.htm Golden Mean in architecture]
-{{Lien AdQ|de}}
+=== Bibliographie ===
-[[Catégorie:Architecture]]
+==== en français ====
-[[Catégorie:Constante mathématique|Or]]
+* ''L'enfant et le nombre d'Or'' de Mireille Hartmann (édité par l'[http://perso.orange.fr/abbaye.boscodon/visites.html Association des amis de l'abbaye de Boscodon] - 05200 Crots) - Le récit d'une institutrice qui fit découvrir le Nombre d'Or à ses jeunes élèves
-[[Catégorie:Figure de géométrie]]
-[[Catégorie:Nombre remarquable]]
-{{Portail mathématiques}}
+==== en anglais ====
+* ''The Golden Ratio : the Story of PHI, the World's Most Astonishing Number'' by Mario Livio. <small>ISBN 0767908163</small>
-[[bar:Goidner Schnitt]] {{Lien BA|bar}}
+{{Multi bandeau|Portail Apprendre|Portail Se loger}}
-[[bg:Златно сечение]]
-[[bn:সোনালী অনুপাত]]
-[[ca:Secció àuria]]
-[[cs:Zlatý řez]]
-[[da:Det gyldne snit]]
-[[de:Goldener Schnitt]]
-[[el:Χρυσή τομή]]
-[[en:Golden ratio]]
-[[eo:Ora proporcio]]
-[[es:Número áureo]]
-[[et:Kuldlõige]]
-[[fi:Kultainen leikkaus]]
-[[he:יחס הזהב]]
-[[hr:Zlatni rez]]
-[[hu:Aranymetszés]]
-[[ia:Ration auree]]
-[[it:Sezione aurea]]
-[[ja:黄金比]]
-[[ko:황금비]]
-[[lmo:Nümar àuri]]
-[[lt:Fi]]
-[[nl:Gulden snede]]
-[[no:Det gylne snitt]]
-[[pl:Złoty podział]]
-[[pt:Proporção áurea]]
-[[ru:Золотое сечение]]
-[[sk:Zlatý rez]]
-[[sl:Zlati rez]]
-[[sv:Gyllene snittet]]
-[[th:อัตราส่วนทองคำ]]
-[[tr:Altın oran]]
-[[uk:Золотий перетин]]
-[[vi:Tỷ lệ vàng]]
-[[vls:Gulden Snee]]
-[[zh:黄金分割]]

Nombre d'or

Un article de Vev.

Version actuelle

Sommaire

Histoire

Le nombre d'or à travers le temps

Le nombre de tout temps

Principes

Propriétés algébriques du nombre d'or

Carré du nombre d'or

Inverse du nombre d'or

Puissances du nombre d'or

Applications

Le segment d'or

Trouver un point

Le rectangle d'or

Construction

La spirale d'or

L'angle d'or

Le triangle d'or

Conclusions

Voir aussi

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en Anglais

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en français

en anglais

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