En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée par la présence de trois angles dans cette figure, ceux formés par les segments entre eux. Les trois points sont les sommets du triangle, les trois segments ses côtés, et les trois angles ses angles.
Le triangle est une figure géométrique élémentaire, à l'instar du point, de la droite ou du cercle. Il constitue depuis l'Antiquité une réserve inépuisable de propriétés, d'exercices et de théorèmes mathématiques de difficulté variées. La plupart des propriétés et définitions énoncées dans cet article étaient déjà énoncées, environ 300 ans avant Jésus-Christ, dans les Éléments d'Euclide.
Comme tout polygone, on nomme un triangle en citant le nom de ses sommets, par exemple ABC.
Ici, l'ordre n'a pas d'importance, puisque deux sommets quelconques sont les extrémités d'un côté du triangle.
En général, pour nommer les longueurs des côtés, on utilise le nom du sommet de l'angle opposé, en minuscule : <math>a = BC</math>, <math>b = AC</math>, <math>c = AB</math>. On nomme un angle en utilisant une lettre minuscule (grecque ou non) [on tolère le nom du sommet surmonté d'un accent circonflexe quand il n'y a pas d'amiguïté] : <math>\widehat{\alpha} = \widehat{a} = \widehat{A} = \widehat{BAC}</math>, <math>\widehat{\beta} = \widehat{b} = \widehat{B} = \widehat{ABC}</math>, <math>\widehat{\gamma} = \widehat{c} = \widehat{C} = \widehat{ACB}</math>.
Si on tolère, pour alléger les notations, de confondre un angle et sa mesure dans les énoncés ou les calculs, la notation correcte est par exemple mes(<math>\widehat{ABC}</math>)=40°
Un triangle peut aussi être défini comme un polygone à trois côtés, ou encore comme un polygone à trois sommets.
Après le point et le segment, le triangle est la figure polygonale la plus simple. C'est le seul qui ne possède pas de diagonale. Dans l'espace, trois points définissent un triangle (et un plan). A contrario, si quatre points coplanaires forment un quadrilatère, quatre points non coplanaires ne définissent pas un polygone, mais un tétraèdre :
D'autre part, tout polygone peut être découpé en un nombre fini de triangles qui forment alors une triangulation de ce polygone. Le nombre minimal de triangles nécessaire à ce découpage est <math>n-2</math>, où n est le nombre de côtés du polygone. L'étude des triangles est fondamentale pour celle des autres polygones, par exemple pour la démonstration du théorème de Pick.
Dans un triangle, La longueur d'un côté est inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés. Autrement dit dans un triangle ABC, si on note les trois inégalités suivantes sont vérifiées :
<math>BC\leqslant BA+AC</math>, <math>AB\leqslant AC+CB</math> et <math>AC\leqslant AB+BC</math>
Cette propriété est caractéristique des triangles. Réciproquement, étant donnés trois nombres réels positifs a, b et c, si les trois inégalités <math>a\leqslant b+c</math>, <math>b\leqslant a+c</math> et <math>c\leqslant a+b</math> sont vérifiées, alors il existe un triangle dont les côtés mesurent a, b et c.
Pour vérifier qu'il existe un triangle dont les longueurs des côtés sont a, b et c, il suffit en pratique de vérifier une seule des trois inégalités, celle où le plus long côté est est à gauche de l'inégalité (i.e. si <math>max(a,b,c)=a</math> la seule inégalité à vérifier est <math>a\leqslant b+c</math>).
Le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire permet de caractériser les points d'un segment :
M est un point du segment [AB] si et seulement si AM+MB=AB.
La somme des longueurs des trois côtés d'un triangle est son périmètre.
La somme des mesures des angles d'un triangle est 180°.
La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180° ou π radians.
Euclide avait démontré ce résultat dans ses Éléments (proposition I-32) de la manière suivante : traçons la parallèle à la droite <math>(AB)</math> passant par <math>C</math>. Étant parallèles, cette droite et la droite <math>(AB)</math> forment avec la droite <math>(AC)</math> des angles égaux, codés en bleu sur la figure ci-contre (angles alternes-internes). De la même façon, les angles codés en vert sont égaux (angles correspondants). D'autre part, la somme des trois angles de sommet C est l'angle plat. Donc la somme des mesures d'un angle rouge, d'un angle vert et d'un angle bleu est 180° (ou π radians). La somme des mesures des angles du triangle est donc 180°.
Cette propriété est un résultat de géométrie euclidienne. Elle n'est pas vérifiée en générale en géométrie non-euclidienne.
Lorsque les trois sommets d'un triangle sont alignés, on parle de triangle aplati. Il est équivalent de dire qu'un angle du triangle est plat (il mesure alors 180°) ou que deux angles du triangle sont nuls (ils mesurent 0°).
Les triangles admettant deux angles droits (de 90°) et un angle nul (de 0°) sont qualifiés de triangles en aiguille (cas particulier de triangle aplati). C'est un cas limite car les angles droits ne sont pas correctement définis.
Dans tous ces cas, on parle de triangles dégénérés. Dans la suite de cet article, on suppose que les triangles ne sont pas dégénérés. Dans le cas des triangles dégénérés, de nombreuses propriétés usuelles des triangles sont fausses ou triviales.
Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180°, un triangle ne peut pas comporter deux angles droits (mesurant 90°) ou obtus (mesurant plus de 90°). Il a donc au moins deux angles aigus. Si le troisième angle est :
droit, on parle de triangle rectangle ;
obtus, on parle de triangle obtusangle (ou parfois de triangle obtus) ;
aigu, on parle de triangle acutangle (ou de triangle aigu).
Les trois propositions suivantes sont équivalentes :
Un triangle a deux côtés de même longueur.
Un triangle a deux angles de même mesure.
Un triangle a un axe de symétrie.
Dans ce cas le triangle est dit isocèle. (On peut aussi dire isoangle).
Lorsqu'un triangle ABC est tel que AC = AB (les deux côtés d'extrémité A sont égaux), alors on dit que le triangle est isocèle de sommet A et que A est le sommet principal du triangle. Le côté [BC], opposé à A, est appelé base du triangle.
Lorsqu'un triangle est isocèle en A, la hauteur issue de A est aussi la médiatrice et la médiane du côté [BC] et la bissectrice de l'angle en A.
Un triangle bisocèle est un triangle isocèle qui, lorsqu'il est « coupé » en deux par la bissectrice d'un de ses angles, forme deux triangles isocèles eux aussi. Il n'y a que deux cas de triangles bisocèles : le triangle d'or et le triangle isocèle rectangle.
Lien externe : démonstration.
Un triangle isocèle peut aussi se trouver dans la figure formée par un parallélogramme et ses diagonales : dans un rectangle, dans un losange ou dans un parallélogramme où la longueur d'un des côtés est la même que celle de la moitié d'une des diagonales.
Un triangle a trois axes de symétrie (bien que deux axes de symétrie suffisent).
Dans ce cas le triangle est dit équilatéral, ou équiangle, ou isopleure. Un triangle équilatéral peut-être vu comme un triangle isocèle particulier.
Les trois angles d'un triangle équilatéral mesurent 60°. Par ailleurs, chacune des hauteurs issues d'un sommet est aussi la médiatrice et la médiane du côté opposé et la bissectrice de l'angle.
Lorsqu'un triangle présente un angle droit (mesurant 90°) on parle de triangle rectangle.
Parmi les nombreuses propriétés du triangle rectangle, citons le fameux Théorème de Pythagore : « Un triangle admet un angle droit si et seulement si le carré de la longueur d'un de ses côtés est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. »
Le 'triangle 3-4-5 est un triangle rectangle dont les longueurs des côtés forment une progression <math> ( 3 , 4 , 5 ) \,</math>. On peut remarquer que 5² = 3² + 4² (soit 25 = 9 + 16) : comme ce triangle vérifie la relation du théorème de Pythagore on peut en déduire qu'il est rectangle.
Ce cas particulier d'un triangle rectangle est connu depuis l'Antiquité. Il est facile à réaliser à l'aide d'une corde à treize nœuds : on l'utilisait pour tracer un angle droit au sol. Pour cette raison, on l'appelle aussi « triangle des arpenteurs ».
Le triangle 30-60-90 est un triangle rectangle dont les angles mesurent 30°, 60° et 90°, c'est-à-dire forment une progression <math> ( 1 , 2 , 3 ) \,</math>. Les longueurs des côtés forment quant à eux une progression <math> ( 1 , \sqrt{3} , 2 ) \,</math>.
Ce triangle est parfois aussi appelé « triangle de l'écolier » : les équerres d'écolier ont parfois cette forme. On parle aussi de « triangle hémi-équilatéral ». Cette dernière appellation se justifie en remarquant qu'un triangle équilatéral peut être coupé suivant un axe reliant l'un de ses sommets au milieu du côté opposé, pour donner deux triangles 30-60-90 égaux.
Remarque : les noms de hauteurs, médianes, médiatrices ou bissectrices désignent non seulement les droites indiqués ci-dessous, mais aussi les segments de ces droites intérieurs au triangle.
On appelle médiane d'un triangle chacune des trois droites passant par un sommet du triangle et par le milieu du côté opposé à ce sommet.
Chacune des trois médianes divise le triangle en deux triangles d'aires égales.
Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection <math> G \,</math> est nommé centre de gravité du triangle. Si le triangle était une plaque solide homogène, on pourrait le faire tenir en équilibre sur une pointe en le posant exactement sur ce point <math>G</math>.
Le centre de gravité du triangle est aussi l'isobarycentre des points <math>A</math>, <math>B</math> et <math>C</math>, défini par la relation vectorielle :
En effet, si I est l'isobarycentre de B et de C pondérés de masses 1, alors par associativité G est le barycentre de I pondéré d'une masse 2 et de A pondéré d'une masse 1.
Cette relation s'applique également aux deux autres sommets du triangle vis-à-vis du milieu de leur côté opposé.
Si I, J et K désignent respectivement les milieux des côtés [BC], [AC] et [AB] alors le triangle IJK s'appelle le triangle médian du triangle ABC.
On appelle médiatrice d'un triangle chacune des médiatrices de ses côtés <math>[AB]</math>, <math>[AC]</math> et <math>[BC]</math>.
Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point <math> \Omega </math> équidistant des trois sommets. Le cercle de centre <math> \Omega </math>, et de rayon <math> \Omega A</math> passe par chacun des trois sommets du triangle : c'est le cercle circonscrit au triangle. Tout triangle est donc un polygone inscriptible.
On peut remarquer que :
-Un triangle est obtusangle si et seulement si son orthocentre est extérieur au triangle
-Un triangle est acutangle si et seulement si son orthocentre est intérieur au triangle
Propriété :
-ABC est un triangle est rectangle en A si et seulement si le centre de son cercle circonscrit est le milieu de [BC]
Les bissectrices d'un triangle sont les trois bissectrices intérieures de ses angles.
Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes en un point <math> O</math>. Le cercle inscrit au triangle est l'unique cercle tangent aux trois côtés du triangle et tout entier inclus dans le triangle. Il a pour centre le point O qui est donc le centre du cercle inscrit au triangle.
On appelle hauteur d'un triangle chacune des trois droites passant par un sommet du triangle et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. L'intersection de la hauteur et du côté opposé s'appelle « pied » de la hauteur.
Ces 3 hauteurs se coupent en un point unique appelé orthocentre.
On peut remarquer que :
-Un triangle est rectangle si et seulement si son orthocentre est un des sommets du triangle
-Un triangle est obtusangle si et seulement si son orthocentre est extérieur au triangle
-Un triangle est acutangle si et seulement si son orthocentre est intérieur au triangle
-Un triangle dont les trois sommets sont parmi A, B, C et H admet le quatrième point comme orthocentre.
Les trois points <math>H</math>, <math>G</math> et <math>\Omega</math> sont alignés sur une droite appelée droite d'Euler du triangle et <math> \Omega H = 3 \Omega G</math> (relation d'Euler).
Par ailleurs les milieux des trois côtés, les trois pieds des hauteurs et les milieux des segments [AH], [BH] et [CH] sont sur un même cercle dénommé cercle d'Euler ou cercle des neufs points du triangle.
La dénomination « cercle des neufs points » est tout à fait impropre car on dénombre des centaines de points remarquables du triangle qui appartiennent à ce cercle. Pour les plus fameux d'entre eux, voir l'article liste des éléments remarquables d'un triangle.
L'aire d'un triangle est l'aire de la portion du plan qu'il enferme. Il existe plusieurs manières de la calculer, selon les informations dont on veut partir.
L'aire d'un triangle peut être calculé en le décomposant en deux triangles rectangle.
Si le triangle est rectangle il est immédiat que son aire est
<math>S = \frac{ah}{2}</math>,
où a est la longueur d'un côté différent de l'hypothénuse et h la longueur de la hauteur issue de ce côté.
Si le triangle n'est pas rectangle, la relation reste vraie car le triangle se décompose en deux triangles rectangles (comme sur la figure).
[Dans le cas d'un triangle obtusangle, la hauteur utilisée est celle issue du sommet de l'angle obtus]
Pour une expression de l'aire d'un triangle dont les longueurs des côtés sont a,b et c et p le demi-périmètre [<math>p=\frac{a+b+c}{2}</math>], on peut utiliser la formule de Héron :
L'aire d'un triangle calculé à partir d'un parallélogramme.
L'aire du parallélogramme défini par deux vecteurs <math>\overrightarrow{u}</math>, <math>\overrightarrow{v}</math> est la norme de leur produit vectoriel :
On peut calculer l'aire d'un triangle à partir de cette formule :
<math> S = \frac12 \left\|{ \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}}\right\|</math>.
Un repère orthonormé étant donnée, l'aire du triangle ABC peut être calculé à partir des coordonnées des sommets.
Dans le plan, si les coordonnées de A, B et C sont données par <math>A(x_A, y_A)</math>, <math>B(x_B, y_B)</math> et <math>C(x_C, y_C)</math>, alors l'aire S est la moitié de la valeur absolue du déterminant
Cette méthode se généralise en trois dimensions. L'aire du triangle ABC où <math>A = (x_A, y_A, z_A)</math>, <math>B = (x_B, y_B, z_B)</math> et <math>C = (x_C, y_C, z_C)</math> s'exprime comme
On dit que deux triangles sont isométriques lorsque leurs trois cotés sont respectivement égaux (égaux un à un). Dans ce cas, il existe une isométrie (par exemple une translation, une rotation ou une symétrie) qui transforme l'un en l'autre.
Pour que deux triangles soient isométriques, il suffit qu'une seul des conditions ci-dessous soit vérifiée :
leurs trois côtés ont même longueurs ;
deux cotés ont même longueur et un des angles a même mesure ;
deux angles ont même mesure, et le côté commun à ses deux angles à même longueur.
Deux triangles sont qualifiées de semblables lorsque leurs trois angles sont respectivement égaux un a un. Il existe alors une similitude (qui est la composée d'une isométrie et d'une homotéthie) qui transforme l'un en l'autre. Dans ce cas les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.
Le triangle est la forme des faces de nombreux polyèdres réguliers : tétraèdre (quatre faces qui sont des triangles équilatéraux, c'est la pyramide à base triangulaire), octaèdre (huit faces, les pyramides égyptiennes sont des demi-octaèdres), icosaèdre (vingt faces)...
