Fonction trigonométrique
Un article de Vev.
En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux longueurs des côtés d'un triangle rectangle contenant l'angle, ou, plus généralement, par les rapports des coordonnées de points du cercle trigonométrique, ou, plus généralement encore, comme somme d'une série entière.
Chacune de ces trois approches sera présentée ci-dessous. Il y a six fonctions trigonométriques de base :
- sinus (sin)
- cosinus (cos)
- tangente (tg = sin/cos) (notée aussi tan, qui est la notation normalisée internationale, toutefois la notation française classique est tg, qui tend à disparaître)
- sécante (sec = 1/cos)
- cosécante (cosec = 1/sin)
- cotangente (cotg = 1/tan = cos/sin)
Le sinus, le cosinus et la tangente sont de loin les plus importantes. Plusieurs relations entre ces fonctions sont énumérées à la page des identités trigonométriques.
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Lignes trigonométriques
Un triangle quelconque rectiligne (ou sphérique) possède six parties dont trois côtés et trois angles. Toutes ces parties ne sont pas utiles à la construction du triangle, par exemple seule la donnée de deux côtés permettrait de compléter le triangle. Mais connaissant seulement les trois angles, il est impossible de retrouver le triangle, puisqu'il existe une infinité de triangles ayant les trois mêmes angles (triangles semblables). En fait il suffit de connaître trois de ces parties dont un côté pour construire un triangle. Le problème de la détermination avec exactitude des parties manquantes du triangle fut étudié en particulier en Europe à partir du Moyen Âge. Les méthodes géométriques ne donnant, à l'exception des cas simples, que des constructions approximatives et insuffisantes à cause de l'imperfection des instruments utilisés, les recherches s'orientèrent plutôt vers des méthodes numériques afin d'obtenir des constructions avec un degré de précision voulu. Et l'un des objectifs de la trigonométrie fut donc de donner des méthodes pour calculer toutes les parties d'un triangle, c'est-à-dire pour résoudre un triangle. Pendant longtemps les géomètres cherchèrent en vain des relations entre les angles et les côtés des triangles. Une de leur plus grande idée fut de se servir des arcs plutôt que des angles pour effectuer leurs mesures. Un arc est un arc de cercle décrit de l'un des sommets du triangle comme centre et compris entre les côtés se rapportant au sommet. Ces considérations menèrent tout naturellement les géomètres à remplacer les arcs par les segments de droites dont ils dépendent.
Ces segments s'appellent les lignes trigonométriques. Il s'agit en fait d'un autre vocable pour désigner les fonctions trigonométriques (sinx, cosx, tanx, ...) appelées aussi fonctions circulaires. Des relations entre les côtés et certaines lignes liées aux arcs s'établissent de manière à ce que les lignes puissent être déterminées à partir de certains arcs et réciproquement. Une convention fondamentale oblige alors à ne considérer que les lignes trigonométriques rapportées à des cercles de rayon 1. Ces lignes trigonométriques définissent les fonctions trigonométriques modernes.
Les fonctions trigonométriques mathématiques sont celles qui s'appliquent à des mesures d'angles données en radians. Mais il est encore d'usage de garder les mêmes noms de fonctions pour les autres unités de mesures comme les degrés ou les grades.
Définitions dans le triangle rectangle
Pour définir les fonctions trigonométriques en un angle Â, considérons un triangle rectangle arbitraire qui contient l'angle Â.
Nous emploierons les noms suivants pour désigner les côtés du triangle rectangle :
- l’hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, une jambe de l'angle  et le coté le plus long du triangle,
- le côté opposé est le côté opposé à l'angle Â, qui nous intéresse,
- le côté adjacent est le côté qui est une jambe de l'angle Â, qui n'est pas l'hypoténuse.
On notera:
- o : la longueur du côté opposé
- a : la longueur du côté adjacent
- h : la longueur de l'hypoténuse
1) Le sinus d'un angle est le rapport de la longueur du côté opposé par la longueur de l'hypoténuse :
- sin(Â) = longueur du côté opposé / longueur de l'hypoténuse = o/h.
Notez que ce rapport ne dépend pas du triangle rectangle particulier choisi, aussi longtemps qu'il contient l'angle Â, puisque tous ces triangles rectangles sont semblables.
2) Le cosinus d'un angle est le rapport de la longueur du côté adjacent par la longueur de l'hypoténuse :
- cos(Â) = longueur de côté adjacent / longueur de l'hypoténuse = a/h.
3) La tangente d'un angle est le rapport de la longueur du côté opposé à la longueur du côté adjacent :
- tan(Â) = longueur du côté opposé / longueur du côté adjacent = o/a.
On peut retenir l'expression suivante qui rassemble les trois rapports : " CAHSOHTOA " ou " SOHCAHTOA " (prononcer : kasotoa ou sokatoa;) Ce mot rassemble les trois rapports trigonométrique, il est à retenir.
Les trois fonctions restantes sont définies en utilisant les trois fonctions ci-dessus.
4) La cosécante de  notée cosec(Â) est l'inverse du sinus de Â, 1/sin(Â), c'est-à-dire le rapport de la longueur de l'hypoténuse par la longueur du côté opposé :
- cosec(Â)=longueur de l'hypoténuse / longueur du côté opposé = h/o.
5) La sécante de  notée sec(Â) est l'inverse du cosinus de Â, 1/cos(Â), c'est-à-dire le rapport de la longueur de l'hypoténuse par la longueur du côté adjacent:
- sec(Â)=longueur de l'hypoténuse / longueur du côté adjacent = h/a.
6) La cotangente de  notée cotg(Â) est l'inverse de la tangente de Â, 1/tan(Â), c'est-à-dire le rapport de la longueur du côté adjacent par la longueur du côté opposé:
- cotg(Â)= longueur du côté adjacent / longueur du côté opposé = a/o.
Valeurs remarquables
Il existe des tables de valeurs des fonctions trigonométriques, mais ces valeurs peuvent également être calculées par la calculatrice. Pour quelques angles simples, les valeurs peuvent être calculées à la main, comme dans les exemples suivants :
Supposons que l'on ait un triangle rectangle dans lequel les deux angles sont égaux et valant donc 45 degrés (π/4 radians). Puisque les longueurs a et b sont égales, nous pouvons choisir a = b = 1.
Maintenant, on peut déterminer le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle de 45 degrés. En utilisant le théorème de Pythagore, <math>c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2}</math> . Ceci est illustré dans la figure de gauche.
Par conséquent,
- <math>\sin {45^\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}</math>,
- <math>\cos {45^\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}</math>,
- <math>\tan {45^\circ} = \frac{1}{1} = 1</math>
Pour déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques pour des angles de 60 degrés (π/3 radians) et de 30 degrés (π/6 radians), nous commençons par considérer un triangle équilatéral de longueur latérale 1. Tous ses angles sont de 60 degrés. En le divisant en deux, nous obtenons un triangle rectangle dont un angle est de 30 degrés. On obtient :
- <math>\sin {30^\circ} = \frac{1}{2}</math>,
- <math>\cos {30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}</math>,
- <math>\tan {30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}</math>
et
- <math>\sin {60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}</math>,
- <math>\cos {60^\circ} = \frac{1}{2}</math>,
- <math>\tan {60^\circ} = \sqrt{3}</math> .
On peut se souvenir de ces valeurs en construisant la table suivante : en mettant dans l'ordre 0, π/6 (30°), π/4 (45°), π/3 (60°) et π/2 (90°), le sinus prend les valeurs <math>\frac{\sqrt{n}}{2}</math>, et pour le cosinus, on prend l'ordre inverse.
Angle | 0 | π/6 30° | π/4 45° | π/3 60° | π/2 90° |
---|---|---|---|---|---|
sin | <math>\frac{\sqrt{0}}{2}</math> 0 | <math>\frac{\sqrt{1}}{2}</math> 1/2 | <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> | <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> | <math>\frac{\sqrt{4}}{2}</math> 1 |
cos | <math>\frac{\sqrt{4}}{2}</math> 1 | <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> | <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> | <math>\frac{\sqrt{1}}{2}</math> 1/2 | <math>\frac{\sqrt{0}}{2}</math> 0 |
tan | 0 | <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> | 1 | <math>\sqrt{3}</math> | ind. |
- Autres valeurs remarquables :
- <math>\sin \left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}</math> <math>\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}</math>
- <math>\sin\left(\frac{\pi}{10}\right) = \frac{1}{1+\sqrt{5}}</math>
- <math>\tan\left(\frac{\pi}{24}\right) = (\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)</math>
Définitions à partir du cercle unité
Les six fonctions trigonométriques peuvent également être définies à partir du cercle unité. La définition géométrique ne fournit presque pas de moyens pour le calcul pratique; en effet elle se fonde sur des triangles rectangles pour la plupart des angles. Le cercle trigonométrique, en revanche, permet la définition des fonctions trigonométriques pour tous les réels positifs ou négatifs, pas seulement pour des angles de mesure en radians comprise entre <math>0 \mbox{ et } \frac{\pi}{2}</math> .
Dans un plan muni d'un repère orthonormé <math>(O;\vec{i},\vec{j})</math>, le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1. Si l'on considère un point A(xA, yA) sur le cercle, alors on a :
- <math>\cos \widehat{(\vec{i},\vec{OA})} = x_A</math>
- <math>\sin \widehat{(\vec{i},\vec{OA})} = y_A</math>
Sur le cercle ci-dessous, nous avons représenté certains angles communs, et nous avons indiqué leurs mesures en radians figurant dans l'intervalle <math>[-2\pi,2\pi]</math>, soit deux mesures par angle et même trois pour l'angle nul.
Notez que nous mesurons les angles positifs dans le sens trigonométrique, contraire à celui des aiguilles d'une horloge, et les angles négatifs dans le sens horaire. Une demi-droite qui fait un angle <math>\theta</math> avec la demi-droite positive 0x de l'axe des abscisses coupe le cercle en un point de coordonnées <math>(\cos \theta, \sin \theta)</math>. Géométriquement, cela provient du fait que l'hypoténuse du triangle rectangle ayant pour sommets les points de coordonnées (0, 0), (cos θ, 0) et (cos θ, sin θ) est égale au rayon du cercle donc à 1. On a donc <math>\sin \theta = {y\over 1} = y</math> et <math>\cos \theta = {x\over 1} = x</math>. Le cercle unité peut être considéré comme une façon de regarder un nombre infini de triangles obtenus en changeant les longueurs des côtés opposés et adjacents mais en gardant la longueur de leur hypoténuse égale à 1.
Bien que seulement le sinus et le cosinus aient été définis directement par le cercle unité, les autres fonctions trigonométriques peuvent être définies par:
- <math>\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}</math>
- <math>\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}</math>
- <math>\operatorname{cosec}\, \theta = \frac{1}{\sin \theta}</math>
- <math>\operatorname{cotg}\, \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}</math>
Le cercle unité a pour équation :
- <math>x^2 + y^2 = 1\,</math>
Cela donne immédiatement la relation
- <math> \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1\,</math>
Relations entre sinus et cosinus
- NB : Les valeurs d'angles sont en radians.
Pour définir les angles strictement plus grands que <math>2\pi\,\!</math> ou strictement négatifs, il suffit d'effectuer des rotations autour du cercle. De cette façon, le sinus et le cosinus deviennent des fonctions périodiques de période <math>2\pi\,\!</math> :
- pour tout angle <math>\theta\,\!</math> et tout entier k :
- <math>\cos(\theta) = \cos(\theta + 2k\pi)\,\!</math>
- <math>\sin(\theta) = \sin(\theta + 2k\pi)\,\!</math>
Ceci exprime le caractère périodique de ces fonctions. Grâce au cercle, et avec des considérations géométriques simples, on peut voir que
- <math>\cos(\theta + \pi) = - \cos(\theta)\,\!</math>
- <math>\sin(\theta + \pi) = - \sin(\theta)\,\!</math>
car <math>\theta + \pi\,\!</math> et <math>\theta\,\!</math> sont diamétralement opposés sur le cercle.
- <math>\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin(\theta)\,\!</math>
- <math>\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos(\theta)\,\!</math>
car <math>\frac{\pi}{2} - \theta\,\!</math> est le point symétrique de <math>\theta\,\!</math> par rapport à la bissectrice de <math>(\vec{i},\vec{j})</math>.
- <math>\cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = - \sin(\theta)\,\!</math>
- <math>\sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \cos (\theta)\,\!</math>
car <math>\theta + \frac{\pi}{2}\,\!</math> se déduit de de <math>\theta\,\!</math> par rotation d'un quart de tour.
- <math>\cos(\pi - \theta) = - \cos(\theta)\,\!</math>
- <math>\sin(\pi - \theta) = \sin(\theta)\,\!</math>
car <math>\pi - \theta\,\!</math> est le symétrique de <math>\theta\,\!</math> par rapport à <math>(O,\vec{j})</math>.
- <math>\cos(- \theta) = \cos(\theta)\,\!</math>
- <math>\sin(- \theta) = - \sin(\theta)\,\!</math>
car <math>- \theta\,\!</math> est le symétrique de <math>\theta\,\!</math> par rapport à <math>(O,\vec{i})</math>.
Ces formules font partie des identités trigonométriques.
Représentations graphiques
Voici les représentations graphiques des fonctions sinus, cosinus et tangente: